ChúngTa.com

Định lý bất toàn và sự hạn chế của các hệ logic: Tranh luận về AI tức là tranh luận về khả năng của các hệ logic (não người, “não" robot các sensors), do đó không thể không biết đến hạn chế của các hệ logic này. Hạn chế của mọihệ logic là hệ logic trực tiếp của định lý bất toàn nổi tiếng do KurtGodel (1906 - 1978), nhà tâm học logic người Áo - Tiệp lỗi lạc nhất thế kỷ XX, công bố năm 1931. Định lý Godel ra đời trong bối cảnh toán học đang bị khủng hoảng bởi những nghịch lý, điển hình là các nghịch lý của BertrandRussell. Thay vì đi theo con đường tiên đề hóa của chủ nghĩa toán học hình thức do David Hilbert khởi xướng nhằm xây dựng lại toàn bộ toán học thành một hệ thống tuyệt đối chặt chẽ phi mâu thuẫn, Godel lại chứng minh một cách thành công rằng bất kỳ một hệ logic hình thức nào cũng không đủ mạnh để tự chúng minh nó đúng. Muốn chứng minh A đúng thì phải đi ra ngoài A.Nói cách khác, bất kỳ một hệ logic nào cũng bất toàn. Cho dù toán học xưa nay có uy tín là một hệ logic tưyệt vời nhất nó phải chấp nhận những mâu thuẫn nội tại. Tư tưởng của Godel đã được chính lịch sử toán học chứng minh. Thật vậy, Hilbert đã xây dựng thành công hệ tiên đề cho hình học Euclid, gồm 20 tiên đề.

Để chứng minh hệ tiên đề của mình là đầy đủ, độc lập phi mâu thuẫn (3 tiêu chuẩn cửa một hệtiên đề do chính ông nêu ra), ngoài các chứng minh thuần túy hình học, Hilbert đã sử dụng cả những chứng minh số học tức làđi ra ngoài hình học, tìm được chỗ dựa là số học. Sau đó Hilbert dự định xây dựng tiếp hệ tiên đề số học (bài toán số 2 trong 23 bài toán nổi tiếng thách thức thế kỷ XX), nhưng đã thất bại. Định lý Godel đã cho câu trả lời: Số học là không gian rộng nhất của toán học, không còn không gian nào bên mình nó nữa.

Ban đầu, vào thời những năm 1930, người ta tưởng định lý Godel chỉ có ý nghĩa lý thuyết thuần tuý toán học. Nhưng vài chục năm sau các nhà khoa học mới bừng tỉnh để phát hiện hết ý nghĩa cực kỳ to lớn của nó trong công nghệ tính toán bằng computer và cho phương pháp nhận thức nói chung, tức là cho triết học khoa học. Vai trò của nó trong công nghệ tính toán không phải chỉ thể hiện ở chỗ phương pháp truy lặp (recursion) mà Godel đã sử dụng để chứng minh định lý của ông sau này trở thành cơ sở của phương pháp lập trình hiện đại, mà còn ở chỗ định lý đó đã chỉ ra những hạn chế của chính computer. Sự cố treo máy - một bài toán nổi tiếng do AlanTuring tiên đoán từ những năm 1950 và sau này đã xảy ra với hầu như bất cứ ai sử dụng computer - là hạn chế điển hình nhất. “Sự cố virus” cũng là một hạn chế không thể khắc phục tuyệt đối không thể viết một chương trình cho phép loại bỏ bất kỳ một loại virus nào. Gần đây nhất Gregory Chaitin, nhà toán học thuộc IBM, đã chứng minh được mộthạn chế thứ ba không thể viết một chương trình tối ưu cho một mục tiêu định trước chỉ có thể viết một chương trình tốt hơn một chương rình đã cho. Tất cả những hạn chế này đều có cơ sở logic là định lý bất toàn của Godel.

Vì thế định lý Godel hiện nay được chú ývà được đánh giá cao hơn chính lúc Godel còn sống. WilliamDenton, một nhà toán học Mỹ, đánh giá định lý này như sau: “Định lý này là một trong những định lý quan trọng nhất đã được chứng minh trong thế kỷ XX, ngang hàng với Thuyết tương đối của Einstein và Nguyên lý bất định của Heisenberg. Tuy nhiên, (đáng tiếc là) rất ít người biết đến nó”.

John arrow, giáo sư Đại học Sussex ở London đã lấy tư tưởng của Định lý bất toàn làm cốt lõi để viết cuốn Impostbihty(Bất Khả), nhằm nêu lên những giới hạn của khoa học và khoa học về các giới hạn. Trong đó Barrow cung cấp một nghịch lý 1-1+1-1+1-.. =? Bằng những biến đổi sơ cấp có thể chứng minh kết quả bằng 1, hoặc bằng 0, hoặc bằng 1/2 và để phê phán tinh thần hình thức chủ nghĩa, Barrow đã dẫn lời của AlbertEinstein: "Tôi không tin vào toán học". Tất nhiên chúng ta chỉ có thể hiểu cái toán học mà Einstein ám Chỉ ở đây là toán học hình thức tách rời vật chất cụ thể.

Theo bài Godel vàgiới hạn của logictrên Scienhfic Amencantháng 6/1999, bản thân Godel nêu lên một ý nghĩa hết sức quan trọng của Định lý bất toàn là việc chứng minh các định lý không thể nào cơgiới hoá hoàntoàn được,và điều đó xác nhậnvai trò của trực giác trong nghiên cứutoán học.Thật vậy, muốn cơ giới hóa hoàn toàn các chứng minh thì logic chứng minh phải được hình thức hoả hoàn toàn, nhưng theo Định lý bất toàn, không cỏ một hệ logic hình thức nào là đầy đủ mà vẫn phải có chỗ để trực giác xen vào.

Trực giác (intuition) là cái gì? Đó là khả năng hiểu được các điều ngay tức khắc, không cần có ý thức suy lý hoặc nghiên cứu (định nghĩa theo Từ điên Anh-Việtcủa Viện ngôn ngữ học năm 1993). Với Godel và có lẽ cả chúng ta nữa, trực giác không phải chỉ đặc biệt cần thiết trong những lĩnh vực "tự do phóng khoáng" như âm nhạc, thơ, văn, hội họa mà còn là yếu tố không thể thiếu được trong sáng tạo khoa học, nơi mà nhiều người thường nghĩ là các quy tắc logic thống trị. Vì thế khó hình dung được computer, với tư cách là một hệ logic, một ngày nào đỏ lại có thể thông minh như con người, bởi vì computer không thể có cái "vật báu trực gác” đó. Computer biết vẽ tranh, chơi nhạc, sáng tác nhạc nhưng đó là những "cảm xúc theo chương trình". Có lẽ các hoạ sĩ, nhạc sĩ nhà văn sẽ là những người phân biệt rõ hơn ai hết "cảm xúc theo chương trình" với cảm xúc chân thật của người nghệ sĩ "bất chợt tuôn trào” ra, như cách nói của văn hào Gogol. Nếu qủa thật có thể thuật toán hóa cảm xúc trực giác thì có lẽ một ngày nào đó [Bản giao hưởng bỏ dở" của FranzSchubert sẽ được computer hoàn thành(!). Joné và Willam trong cuốn Một nềngiáo dục không đầyđủ (An Incomplete Education) đã diễn tả rất hay khái niệm trực giác như là những "sự thật bất chợt và nhấn mạnh ý nghĩa của Định lý bất toàn như sau: “Định lý Godel đã được sử dụng để lý luận rằng một com puter không bao giờ thông minh được như con người bởi vi phạm vi hiểu biết của nó bị giới hạn bởi một tập hợp cố định các tiên đề, trong khi con người có thể khảm phá ra những sự thật bất chợt".

Cuối cùng Jones và William còn đi xa hơn: Và định lý đó (Godel) còn được áp dụng để ngụ ýrằng bạn sẽ chẳng bao giờ hiểu được chính bạn, kể từ lúc ý nghĩ của bạn, giống như bất kỳ một hệ thống logic khép kín nào, không thể nhận thức được đầy đủ chính bản thân mình".